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复合函数如何求导 复合函数求导法则

一、复合函数如何求导

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),

从而(公式):f&39;[g(x)]=f&39;(u)*g&39;(x)

呵呵,我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂,那就举个例子吧,耐心看哦!

f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)

所以f&39;[g(x)]=[sin(u)]&39;*(2x)&39;=2cos(u),再用2x代替u,得f&39;[g(x)]=2cos(2x).

以此类推y&39;=[cos(3x)]&39;=-3sin(x)

y&39;={sin(3-x)]&39;=-cos(x)

一开始会做不好,老是要对照公式和例子,

但只要多练练,并且熟记公式,最重要的是记住一两个例子,多练习就会了。

二、复合函数求导法则

证法一:先证明个引理

复合函数如何求导 复合函数求导法则  大学百科  第1张

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f&39;(x0)=H(x0)

证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U&39;(x0)(x0去心邻域);H(x)=f&39;(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f&39;(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f&39;(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导,且f&39;(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F&39;(x0)=f&39;(u0)φ&39;(x0)=f&39;(φ(x0))φ&39;(x0)

证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f&39;(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ&39;(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且

F&39;(x0)=f&39;(u0)φ&39;(x0)=f&39;(φ(x0))φ&39;(x0)

证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f&39;(u)或Δy/Δu=f&39;(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f&39;(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f&39;(u)Δu+αΔu]/Δx=f&39;(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

则lim(Δx->0)α=0

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

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