一、数系的扩充和复数的概念
数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律。
复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性。
数系的扩充它是在人类认识和运用数的历史发展过程中，逐步形成的、不断扩大数的范围的一些基本原则。
这些原则是：
1、从数系A扩充到数系B必须是AB，即A是B的真子集；
2、数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算，且这些运算对于B中A的元来说与原来A的元间的关系和运算相一致；
3、A中不是永远可行的某种运算，在B中永远可行，例如，实数系扩充为复数系后，开方的运算就永远可行，再如，自然数系扩充为整数系后，减法的运算就能施行等。
我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
在每一次数系扩充中，人们都遵守了如下几条原则：
1、扩充的目的：在原数集中某种运算不封闭，在扩充后的新数集中该运算封闭；
2、扩充后的集合要扩大：进行的每一次扩充都是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集，且使得原数集是新数集的一部分；
3、保持原有的运算：进行扩充时,要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义，并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时，其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同；
4、扩充的最小性与唯一性：要使扩充后的新数集是原数集满足以上的①、②、③原则的最小扩充，并且该扩充是唯一的。
二、倒数的定义和性质
定义：倒数是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数，分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
倒数一般可用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。
性质：两个倒数的数的乘积等于1。
