函数的概念与三要素 函数的概念相关例题

一、函数的概念与三要素

1、函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f$f$，使对于集合 A 中的任意一个数x$x$，在集合B中都有唯一确定的数f(x)$f(x)$和它对应，那么就称f:A→B$f:A\to B$为从集合A到集合B的一个函数，计作y=f(x)(x∈A)$y=f(x)(x\in A)$，其中，x$x$叫做自变量，x$x$的取值范围A叫做函数的定义域；与x$x$的值相对应的y$y$值叫做函数值，函数值的集合{f(x)∣x∈A}$\{f(x)\mid x\in A\}$叫做函数的值域。显然，{f(x)∣x∈A}⊆B$\{f(x)\mid x\in A\}\subseteq B$.

2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系

3、函数相等的定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

4、函数的表示方法

（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法。

二、函数的概念相关例题

试判断以下各组函数是否表示同一函数：

(1)f(x)=x2−−√，g(x)=x3−−√3$f(x)=\sqrt{x^2}，g(x)=\sqrt[3]{x^3}$；

(2)f(x)=(x−−√)2，g(x)=x2−−√$f(x)=(\sqrt{x}{)}^2，g(x)=\sqrt{x^2}$；

(3)y=x0与y=1(x≠0)$y=x^0与y=1(x\ne 0)$；

(4)y=2x+1，x∈Z与y=2x−1，x∈Z$y=2x+1，x\in Z与y=2x-1，x\in Z$.

答案：

(1) 不表示同一函数

(2) 不表示同一函数

(3) 表示同一函数

(4) 不表示同一函数

解析：

(1) 由于f(x)=x2−−√=|x|，g(x)=x3−−√3=x$f(x)=\sqrt{x^2}=\left|x\right|，g(x)=\sqrt[3]{x^3}=x$，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数.

(2) 由于函数f(x)=(x−−√)2$f(x)=(\sqrt{x}{)}^2$的定义域为{x∣x≥0}$\{x\mid x\ge 0\}$，而g(x)=x2−−√$g(x)=\sqrt{x^2}$的定义域为{x∣x∈R}$\{x\mid x\in R\}$，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数.p分页标题e

(3) 由于y=x0$y=x^0$要求x≠0$x\ne 0$，且x≠0$x\ne 0$时，y=x0=1$y=x^0=1$，故y=x0$y=x^0$与y=1(x≠0)$y=1(x\ne 0)$的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数.

(4)y=2x+1,x∈Z与y=2x−1,x∈Z$y=2x+1,x\in Z与y=2x-1,x\in Z$两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数.