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绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
2．已知集合，，则（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
4．设函数，则下列函数中为奇函数的是（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．60种&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．120种&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．240种&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．480种
7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．p分页标题e
8．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．
C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
10．设，若为函数的极大值点，则（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
12．设，，．则（&xa0;&xa0;&xa0; ）
A．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; B．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; C．&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0;&xa0; D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
14．已知向量，若，则__________．
15．记的内角的对边分别为，面积为，，，则________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备p分页标题e
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求﹔
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且．
（1）求，
（2）求二面角的正弦值．
19．（12分）
记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
20．（12分）
设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
21．（12分）
已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，是C的两条切线，是切点，求面积的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程；
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围．
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