&xa0;
绝密★启用前
202l年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．已知，则
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
4．下列函数中是增函数的为
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）
A．1.5&xa0;B．1.2&xa0;C．0.8&xa0;D．0.6
7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
8．在中，已知，，，则
A．1&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．3
9．记为等比数列的前n项和．若，，则
A．7&xa0;B．8&xa0;C．9&xa0;D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A．0.3&xa0;B．0.5&xa0;C．0.6&xa0;D．0.8
11．若，则
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
12．设是定义域为R的奇函数，且．若，则
A．&xa0;B．&xa0;C．&xa0;D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若向量满足，则_________．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为________．
15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________．
16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．p分页标题e
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
&xa0;
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12分）
记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
19．（12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：．
20．（12分）
设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．（12分）
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
&xa0;
&xa0;
