一、矩阵的秩和特征值个数的关系
关系：
1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。
2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。
证明：
定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。
定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。
定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。
定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。
定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。
二、矩阵的秩的变化规律及证明
1、转置后秩不变
2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
3、r(kA)=r(A),k不等于0
4、r(A)=0 <=> A=0
5、r(A+B)<=r(A)+r(B)
6、r(AB)<=min(r(A),r(B))
7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)
证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
