函数的奇偶性
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知识点概述
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
一、定义
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;
奇函数：关于原点对称。（做题时可考虑特殊值法），f（0）=0）。F（-x）= -f（x）
偶函数：关于y轴对称。F（-x）=f（x）
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二、函数f（x）的奇偶性
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）同时成立，那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）都不能成立，那么函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f（x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
三、性质
(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;
(2) f(x),g(x)的定义域为D;
(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;
(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数;p分页标题e
(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
四、奇偶函数图像的特征
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f（x）为奇函数《＝＝》f（x）的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
五、奇偶函数运算
（1）两个偶函数相加所得的和为偶函数。
（2）两个奇函数相加所得的和为奇函数。
（3）一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
（4）两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
（5）两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
（6）一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
六、拓展延伸
(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;
(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。利用函数的奇偶性求值利用函数的奇偶性和单调性比较值的大小利用奇偶性求函数解析式
