直线与方程
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倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程
1、直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为
2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为
直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中
直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
直线的交点坐标与距离公式
两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0
解：解方程
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
1、两点间距离
两点间的距离公式
2、点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度．
1 借助直线的斜率巧解应用题
例1 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？p分页标题e
解 建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：
kAC=tanxCA=，．
于是tanACB=
由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳．
点评 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题．
2 借助直线的斜率比较大小
例2 设M=，则M与N的大小关系为()
A．M＞NB．M=NC．M＜ND．无法判断解析 将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．
点评 如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理．
3 借助直线的斜率求直线的方程
例3．过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点，求（1）△ABO面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．
解析 显然直线效率存在，设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，得点A(),B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，
∵k<0∴S△ABO≥4，此时即直线为x＋2y－4=0．
（2）︱PA︱·︱PB︱=,此时即直线为x＋y－3=0．
4 构造直线斜率证明不等式问题
例4．已知a、b、m都是正实数，并且a<b，求证：．
证明 如图，在平面直角坐标系内，设点，点． 由m>0和0<a<b知点A在直线y=x在第三象限的图像上，点B在直线y=x在第一象限的图像的下方，于是可得斜率，即，原不等式得证．
点评 这是新教材高二数学上册上的一道例题．教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式．
5 构造直线斜率解决变量或参数范围问题
例5 若在圆上运动，求的取值范围．
解 因为是直线OP（的斜率，在圆上，当p点是由原点O向圆作切线的切点时，取到最大值与最小值．p分页标题e
设直线OP的斜率为k，直线OP的方程为y=kx，圆心C的坐标为，半径为．由于圆心C到切线的距离等于半径，于是可得方程：，解得．所以的取值范围为．
点评 可以看成是点与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设k=，得函数y=kx．于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题．
