用极限定义证明数列极限的关键是对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。因此，关键是找出N。
极限定义证明数列极限的关键
1、对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。因此。关键是找出N。那么，如何寻找N呢?
2、显然，要寻找的N，一定要满足当n>N时，有|an-a|<ε成立。而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数，我们可以通过求解不等式|an-a|<ε，找到使|an-a|<ε成立，n所要满足的条件，亦即不等式|an-a|<ε的解集。该解集是自然数集N的无限子集，对同一个ε，N并不惟一。
3、因此，只需在该解集找出一个作为N即可。这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。
六种方法
1、利用数列极限
2、利用极限性质
3、利用迫敛性
4、利用级数收敛的必要条件
5、利用单调有界原理
6、利用柯西准则
数列极限
设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作Xn→a(n→∞)
读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”。
若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列。
该定义常称为数列极限的ε-N定义。
对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。
定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。
定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。
