n的n分之一次方的极限等于1。将n换为x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞](1/x)lnx]，洛必达法则=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。
证明：n^(1/n)的极限为1
记n^(1/n)=1+a(n), 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2, 所以
0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)
对任意ε>0, 取N=1+ 2/ε^2, 当n>N时
|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε
所以lim(n^(1/n))=1.
什么是极限
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
