一、裂项相消法的定义和常见的裂项公式
1、裂项相消法
把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的。
2、常见的裂项公式：
（1）若${a_n}$是等差数列，则$frac{1}{a_na_{n+1}}=$$frac{1}{d}·left(frac{1}{a_n}-frac{1}{a_{n+1}}ight)$，$frac{1}{a_n·a_{n+2}}=$$frac{1}{2d}left(frac{1}{a_n}-frac{1}{a_{n+2}}ight)$。
（2）$frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$。
（3）$frac{1}{n(n+k)}=frac{1}{k}left(frac{1}{n}-frac{1}{n+k}ight)$。
（4）$frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=$$frac{1}{2}left(frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1}ight)$。
（5）$frac{1}{n(n+1)(n+2)}=$$frac{1}{2}left[frac{1}{n(n+1)}-frac{1}{(n+1)(n+2)}ight]$。
（6）$frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+1}}=$$sqrt{n+1}-sqrt{n}$。
（7）$frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+k}}=$$frac{1}{k}(sqrt{n+k}-sqrt{n})$。
注：抵消后的项数并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能剩下第一项和倒数第二项。通过裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等。
二、裂项相消法的例题
等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，$a_3=3$，$S_4=10$，则$underset{k=1}{overset{n}{sum}}frac{1}{S_k}=$____
A．$frac{n}{n+1}$ B．$frac{2n}{n+1}$
C．$frac{3n}{n+1}$ D．$frac{4n}{n+1}$
答案：B
解析：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，由题意有：$egin{cases}a_1+2d=3,\4a_1+frac{4×3}{2}d=10,end{cases}$
解得$egin{cases}a_1=1,\d=1,end{cases}$
数列的前$n$项和$S_n=$$na_1+$$frac{n(n-1)}{2}d=$$n×1+$$frac{n(n-1)}{2}×$$1=$$frac{n(n+1)}{2}$，$frac{1}{S_k}=$$frac{2}{k(k+1)}=$$2left(frac{1}{k}-frac{1}{k+1}ight)$，所以$underset{k=1}{overset{n}{sum}}frac{1}{S_k}=$$2Big[left(1-frac{1}{2}ight)+$$left(frac{1}{2}-frac{1}{3}ight)+$$cdots+$$left(frac{1}{n}-frac{1}{n+1}ight)Big]=$$2left(1-frac{1}{n+1}ight)=$$frac{2n}{n+1}$。
