一、平面向量的加法和常用结论
1、向量的加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$oldsymbol a$，有$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论
$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，$|oldsymbol a+oldsymbol b|leqslant |oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。
当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=|oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。
当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向或$oldsymbol a$，$oldsymbol b$中至少有一个为$oldsymbol 0$时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=$$|oldsymbol a|-|oldsymbol b|$（或$|oldsymbol b|-|oldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律
交换律：$oldsymbol a+oldsymbol b=oldsymbol b+oldsymbol a$。
结合律：$(oldsymbol a+oldsymbol b)+oldsymbol c=oldsymbol a+(oldsymbol b+oldsymbol c)$。
2、向量的减法
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
常用结论
$-(-oldsymbol a)=oldsymbol a$，$oldsymbol a+(-oldsymbol a)=(-oldsymbol a)+oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol a-oldsymbol b=oldsymbol a+(-oldsymbol b)$。
3、向量的数乘
一般地，我们规定实数$λ$与向量$oldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λoldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：
① $|λoldsymbol a|=|λ||oldsymbol a|$。
② 当$λ=0$时，$λoldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相同。
向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+oldsymbol a$，$λ-oldsymbol a$无意义。
向量数乘的运算律
设$λ$，$μ$为实数，则有：
$λ(μoldsymbol a)=(λμ)oldsymbol a$（结合律）。
$(λ+μ)oldsymbol a=λoldsymbol a+μoldsymbol a$（第一分配律）。
$λ(oldsymbol a+oldsymbol b)=λoldsymbol a+λoldsymbol b$（第二分配律）。
特别地，我们有：
$(-λ)oldsymbol a=-(λoldsymbol a)=λ(-oldsymbol a)$。
$λ(oldsymbol a-oldsymbol b)=λoldsymbol a-λoldsymbol b$。
4、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1oldsymbol a±μ_2oldsymbol b)=$$λμ_1oldsymbol a±λμ_2oldsymbol b$。
二、平面向量的加法的相关例题
已知向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$均为非零向量，则下列说法不正确的个数是___
① 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向，且$|oldsymbol a|>|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；p分页标题e
② 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向，且$|oldsymbol a|<|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；
③ 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同。
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：对于①向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向，且$|oldsymbol a|>|oldsymbol b|$，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同正确；对于②，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol b$的方向相同，故②说法不正确；③向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同正确，故①③说法正确。故选：B。
