一、比较不等式大小的方法和不等式的基本性质
1、不等式的基本性质
（1）对称性：$a>bLeftrightarrow b<a$，$a<bLeftrightarrow b>a$。
（2）传递性：$a>b$，$b>cRightarrow a>c$；$c<b$，$b<aRightarrow c<a$。
（3）可加性：$a>bLeftrightarrow a+c>b+c$。
推论：（移项法则）$a+b>cLeftrightarrow a>c-b$。
（4）同向可加性：$a>b$，$c>dRightarrow a+c>b+d$。
（5）可乘性：$a>b$，$c>0Rightarrow ac>bc$。
（6）同向同正可乘性：$a>b>0$，$c>d>0Rightarrow ac>bd$。
（7）可乘方性：$a>b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈mathbf{N},n≥1)$。
（8）可开方性：$a>b>0Rightarrow sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}$。
2、不等式的其他性质
（1）倒数性质
① $a>b，ab>0Rightarrow frac{1}{a}<frac{1}{b}$；
② $a<0<bRightarrow frac{1}{a}<frac{1}{b}$；
③ $a>b>0，0<c<dLeftrightarrow frac{a}{c}>frac{b}{d}$。
（2）分数性质
若$a>b>0，m>0$，则
① 真分数性质：$frac{b}{a}<frac{b+m}{a+m}$；$frac{b}{a}>frac{b-m}{a-m}(b-m>0)$。
② 假分数性质：$frac{a}{b}>frac{a+m}{b+m}$；$frac{a}{b}<frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$。
3、比较不等式大小的方法
（1）作差法
$a-b>0Leftrightarrow a>b$；
$a-b<0Leftrightarrow a<b$；
$a-b=0Leftrightarrow a=b$。
（2）作商法
$b>0$时，$frac{a}{b}>1Leftrightarrow a>b$，$frac{a}{b}=1Leftrightarrow a=b$，$frac{a}{b}<1Leftrightarrow a<b$；
$b<0$时，$frac{a}{b}>1Leftrightarrow a<b$，$frac{a}{b}=1Leftrightarrow a=b$，$frac{a}{b}<1Leftrightarrow a>b$。
（3）函数性质法
利用指数函数$y=a^x$、对数函数的$y=log^x_a$的单调性：$a>1$时单调递增；$0<a<1$时单调递减。
二、比较不等式大小的方法的相关例题
已知$a，b$为正实数，则下列关于$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}$与$sqrt{a}+sqrt{b}$的大小比较正确的是
A．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}>sqrt{a}+sqrt{b}$
B．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}<sqrt{a}+sqrt{b}$
C．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$
D．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≤sqrt{a}+sqrt{b}$
答案：C
解析：解法一：（作差法）：
$left(frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}ight)-(sqrt{a}+sqrt{b})=$$left( frac{a}{sqrt{b}}-sqrt{b}ight)+left( frac{b}{sqrt{a}}-sqrt{a}ight)=$$frac{a-b}{sqrt{b}}+frac{b-a}{sqrt{a}}=$$frac{(a-b)(sqrt{a}-sqrt{b})}{sqrt{ab}}=$$frac{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})^2}{sqrt{ab}}$。
$∵a，b$为正实数，$∴frac{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})^2}{sqrt{ab}}≥0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。
解法二：（作商法）：$frac{frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}}{sqrt{a}+sqrt{b}}=$$frac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{ab}(sqrt{a}+sqrt{b})}=$$frac{(sqrt{a})^3+(sqrt{b})^3}{sqrt{ab}（sqrt{a}+sqrt{b}）}=$$frac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{ab}}=$$1+frac{（sqrt{a}-sqrt{b}）^2}{sqrt{ab}}≥1$。p分页标题e
$∵a>0，b>0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}>0$，$sqrt{a}+sqrt{b}>0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。
解法三：（平方后作差）：
$left( frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}ight)^2=$$frac{a^2}{b}+frac{b^2}{a}+2sqrt{ab}，（sqrt{a}+sqrt{b}）^2=$$a+b+2sqrt{ab}$，
$∴left( frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}ight)^2-(sqrt{a}+sqrt{b})^2=$$frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}$。
$∵a>0$，$b>0$，$∴frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}≥0$，
又$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}>0$，$sqrt{a}+sqrt{b}>0$，故$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。
