一、三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式
1、在三角形中有
（1）大边对大角、大角对大边；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即$△ABC$中，$∠A>∠B Leftrightarrow a>b Leftrightarrow sin A>sin B$。
（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
（3）$A+B+C=π$。
（4）三角形内角的三角函数关系式
①$sin A=sin {(B+C)}$，$cos A=-cos (B+C)$，$an A=-an (B+C)$。
②$sin frac{A}{2}$=$cos frac{B+C}{2}$，$cos frac{A}{2}=sin frac{B+C}{2}$。
③$sin 2A$=$-sin (2B+2C)$，$cos 2A=cos (2B+2C)$，$an 2A$=$-an (2B+2C)$。
④$sin A+sin B+sin C$=$4cosfrac{A}{2}$$cos frac{B}{2}$$cos frac{C}{2}$，$an A+an B+an C$=$an A$$an B$$an C$。
⑤$sin 2A$+$sin 2B$+$sin 2C$=4$sin A$$sin B$$sin C$，$cos 2A$+$cos 2B$+$cos 2C$=-1-4$cos A$$cos B$$cos C$。
2、在直角三角形中有
（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（5）${m Rt}△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有定理如下：
① $AD^2$=$BD$·$DC，$
② $AB^2$=$BD$·$BC$，
③ $AC^2$=$CD$·$BC$，
④$AB$·$AC$=$AD$·$BC$，
⑤直角三角形的外接圆的半径$R=frac{1}{2}BC$，
⑥直角三角形的内切圆的半径$r$=$frac{1}{2}(AB+AC-BC)$或$r$=$frac{AB·AC}{AB+BC+CA}$，
⑦等腰直角三角形三边之比为1∶1∶$sqrt{2}$。
二、三角形边角关系的相关例题
已知$α$是三角形的一个内角，且$sin α+cos α$=$frac{2}{3}$，则此三角形是
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案：C
解析：由题设可知$α$是三角形的一个内角，则$sin α$>0，将$sin α$+$cos α$=$frac{2}{3}$两边平方可得1+2$sin αcos α$=$frac{4}{9}$，即$sin αcos α$=$-frac{5}{18}$<0$Rightarrow$$cos α$<0 ， 所以$frac{π}{2}<α<π$，即该三角形是钝角三角形，故选C。
