一、勾股定理的证明方法和应用
1、勾股定理
（1）文字语言
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言
如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2+$$b^2=$$c^2$。
（3）变式及应用
设直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则
$a^2=c^2-b^2$，$b^2=c^2-a^2$，
$c=sqrt{a^2+b^2}$，$a=sqrt{c^2-b^2}$，$b=sqrt{c^2-a^2}$。
2、勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有很多种，下面列出其中一种证明方法：
在Rt$△ABC$中，设直角边$AC$、$BC$的长度分别为$a$、$b$，斜边$AB$的长为$c$，过点$C$作$CD⊥AB$，垂足是$D$。在$△ADC$和$△ACB$中，∵$∠ADC=∠ACB=90°$，$∠CAD=∠BAC$，∴$△ADC∽△ACB$。$AD∶AC=AC∶AB$，即$AC^2=AD·AB$。同理可证，$△CDB∽△ACB$， 从而有$BC^2=BD·AB$。∴$AC^2+BC^2=$$(AD+DB)·$$AB=AB^2$，即$a^2+b^2=c^2$。
二、勾股定理的证明方法的相关例题
下列各组数中，满足勾股定理的是___
A．$3^2$，$4^2$，$5^2$
B．$sqrt{3}$，$sqrt{4}$，$sqrt{5}$
C．$frac{1}{3}$，$frac{1}{4}$，$frac{1}{5}$
D．9，40，41
答案：D
解析：解：A．$(3^2)^2+$$(4^2)^2≠$$(5^2)^2$，即$3^2$，$4^2$，$5^2$不满足勾股定理，故本选项不符合题意；B．$(sqrt{3})^2+$$(sqrt{4})^2≠$$(sqrt{5})^2$，即$sqrt{3}$，$sqrt{4}$，$sqrt{5}$不满足勾股定理， 故本选项不符合题意； C．$left(frac{1}{3}ight)^2+$$left(frac{1}{4}ight)^2≠$$left(frac{1}{5}ight)^2$，即$frac{1}{3}$，$frac{1}{4}$，$frac{1}{5}$不满足勾股定理，故本选项不符合题意；D．$9^2+$$40^2=$$41^2$，即9，40，41满足勾股定理，故本选项符合题意。故选D。
