一、证明三角形重心判定定义
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。
推论：由性质1可知GA+GB+GC=0
向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
二、证明三角形重心判定定理
中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。
在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?
以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。
过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。
由勾股定理可得
AO?=m?+n?,
中线定理的证明
中线定理的证明
AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,
AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.
∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?
=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)
又∵AO?=m?+n?,
∴AB?+AC?=2a?+2AO?
又∵B(-a，0)，C(a，0),
∴a=BC
∴a?=BC?
∴2a?=2·BC?=BC?
∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。
