一、正交矩阵行列式的值
正交矩阵的行列式是+1或−1。实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有（复数）绝对值1。
矩阵的作用就是一个运动的快照，矩阵乘以一个向量，相当于将这个向量进行旋转，伸缩。而如果是正交矩阵乘以一个向量，它就是所有保持原点不动、长度不变的线性变换。
比如旋转，比如反射。就这两种。前者保持定向，后者反向。以二维为例，正交矩阵都为[cos(a)，sin(a)；-sin(a)，cos(a)]，或者[1，0；0，-1]，或者这两者的组合的形式。前者是旋转a弧度，后者是按x轴反射。
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
二、两正交矩阵的乘积是正交矩阵吗
两个n阶正交矩阵的乘积是正交矩阵。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。正交矩阵的最基本置换是换位，通过交换单位矩阵的两行得到。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
A的列向量组也是正交单位向量组。
正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
