函数的概念及表示方法,函数的概念相关例题

一、函数的概念及表示方法

函数的概念：

在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数。

函数的表示法：

将上述函数记作y=f(x)。变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域。当x=xo时，函数y=f(x)对应的值yo叫做函数y=f(x)在点xo处的函数值，记作yo=f(xo)。函数值的集合{y|y=f(x)，x∈D｝叫做函数的值域。函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了，因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素。

二、函数的概念相关例题

试判断以下各组函数是否表示同一函数：

(1)f(x)=x2−−√，g(x)=x3−−√3$f(x)=\sqrt{x^2}，g(x)=\sqrt[3]{x^3}$；

(2)f(x)=(x−−√)2，g(x)=x2−−√$f(x)=(\sqrt{x}{)}^2，g(x)=\sqrt{x^2}$；

(3)y=x0与y=1(x≠0)$y=x^0与y=1(x\ne 0)$；

(4)y=2x+1，x∈Z与y=2x−1，x∈Z$y=2x+1，x\in Z与y=2x-1，x\in Z$.

答案：

(1) 不表示同一函数

(2) 不表示同一函数

(3) 表示同一函数

(4) 不表示同一函数

解析：

(1) 由于f(x)=x2−−√=|x|，g(x)=x3−−√3=x$f(x)=\sqrt{x^2}=\left|x\right|，g(x)=p分页标题e\sqrt[3]{x^3}=x$，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数.

(2) 由于函数f(x)=(x−−√)2$f(x)=(\sqrt{x}{)}^2$的定义域为{x∣x≥0}$\{x\mid x\ge 0\}$，而g(x)=x2−−√$g(x)=\sqrt{x^2}$的定义域为{x∣x∈R}$\{x\mid x\in R\}$，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数.

(3) 由于y=x0$y=x^0$要求x≠0$x\ne 0$，且x≠0$x\ne 0$时，y=x0=1$y=x^0=1$，故y=x0$y=x^0$与y=1(x≠0)$y=1(x\ne 0)$的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数.

(4)y=2x+1,x∈Z与y=2x−1,x∈Z$y=2x+1,x\in Z与y=2x-1,x\in Z$两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数.