the last day通常用于特指某段时间的最后一天，而last day通常单指“最后一天”，如果想在句子里面表示某日是最后一天，比如在假期的最后一天，通常会用the last day来表示。
the last day和last day
1.前者比后者多了一个the。
2.前者的意思主要是某个时间段的最后一天，而后者的意思主要是最后一天。
Last的意思在英语中也是多样化的，比如上一天，last day，上个星期，last week等，他还可以表示最后，比如，我们常说的寒假的最后一天，我们就可以说the last day in winter vacation。
例句：His cold got better on the last day of his holiday.
在假期的最后一天，他的感冒才见好。
last有很多种用法，最常见的是用作形容词、副词、名词和动词，用作形容词时可以为“最后的，最末的，末尾的，最近的，上一个的”，用作副词时可译为“最后，最终，终结，最新，最近，上一次”，用作名词时的意思是“最后来的人，仅剩下的部分”。
